幸福相邻

Reg Allenby的女儿就读于英国的学校，回家时她把幸福数（happy number）这一概念带了回来。如果你重复对一个数的十进位数字求平方和这一程序，则易见要么你得到圈 4→16→37→58→89→145→42→20→4， 要么你得到1。在后一情形，你是从一个幸福数开始的。前一百个得1的幸福数是： 1 7 10 13 19 23 28 31 32 44 49 68 70 79 82 86 91 94 97 100 103 109 129 130 133 139 167 176 188 190 192 193 203 208 219 226 230 236 239 262 263 280 291 293 301 301 310 313 319 320 326 329 331 338 356 362 365 367 368 376 379 383 386 391 392 397 404 409 440 446 464 469 478 487 490 496 536 556 563 565 566 608 617 622 623 632 635 637 638 644 649 653 655 656 665 671 673 680 683 694 看起来所有的数中大约有1/7是幸福数，第一对连续幸福数是31，32；第一组连续的3个幸福数是1880，1881，1882，一组连续的5个幸福数的例子是44488，44489，44490，44491，44492。 我们可以定义一个幸福数的高度（hight）（高度的意思：就是指一个幸福数要计算多少次才能算到1. 如10→1的平方+0的平方=1,算了1次就算到1了,10的高度就是1）是达1所需做的迭代的次数。例如高度最小的几个幸福数是： 高度 0 1 2 3 4 5 6 数 1 10 13 23 19 7 356 既然幸福数有这么好的性质，应该还有一些很优美的结论、推论，于是我就作了如下尝试。 【主体】 根据以上资料，我自己做了一个关于幸福数的探究： 我对78780~78990之间的数进行十进位数字求平方和，得出了一些自己的结论： 1．观察所有的幸福数，将相邻2个幸福数，大的减小的，就能得出它们之间的密度(1个幸福数与相邻幸福数的间距)，最后得出78780~78990之间幸福数的密度的界(意为取值范围)大小为1~46； 2．根据数字和数字之间的密度，我找出了78780~78990之间的连续的幸福数是： 78905，78906； 78943，78944； 78949，78950； （也就是密度为1的2个幸福数） 3．我发现，如果一个数字是幸福数，那么由它得出的其他数字都是幸福数，它的序列是幸福数;如果一个数字不是幸福数，所有成员也就不是幸福数。 举例来说，幸福数7，相关的序列是： 7 2 = 49 4 2 +9 2 = 97 9 2 +7 2 = 130 1 2 +3 2 + 0 2 = 10 1 2 +0 2 = 1 把这几个数找出来：7，49，97，130，10，1 在表中查找，发现： 1 7 10 13 19 23 28 31 32 44 49 68 70 79 82 86 91 94 97 100 103 109 129 130 133 139 167 176 188 190 192 193 203 208 219 226 230 236 239 262 263 280 291 293 301 301 310 313 319 320 326 329 331 338 356 362 365 367 368 376 379 383 386 391 这几个数均是幸福数。 4．且不是幸福数的数进行十进制平方和后，最后总到达这几个数 0，4，16，20，37，42，58，89，145。也就是说，这些不是幸福数的数最后算着算着总是算到以上这几个数上，以此可以判定某数是不是幸福数，算到以上这几个数就说明不是幸福数。再接着以上这些数算下去,你会发现,它们除0外都是会回到4的循环上去，如： 4→16→37→58→89→145→42→20→4 5．接着再把数据整理，我发现了幸福数的一个有趣的现象： 做一个题目：已知幸福数356，求与356高度相同的幸福数。 把356的数字调换位置，365，536，563，635，653。这些就是和它高度相同的幸福数。因为将数字调换位置，得到不同的数，但是求出来的平方和依然是一样的，高度也就一定相等。 6． 78999是高度为7的最小幸福数吗？根据以上结论 ，我认为78999是高度为7的最小幸福数，理由如下： 现在把78999调换数字的位置，得： 79899，79989，79998，87999，89799，89979，89997，97899，97989，97998，98799，98979，98997，99789，99879，99978，99987。发现78999是最小的，所以78999是高度为7的最小幸福数。 7．在计算过程中，因为要找出所有的幸福数，一开始我是慢慢的一个一个的计算下来，那样很花费时间，所以后来我发现了一个求一个数是不是幸福数的比较简单的方法： 如：求78999是不是幸福数。只需要算（7的平方+8的平方+9的平方+9的平方+9的平方=356）一次就够了，算出来的结果356， 查找最后得到1的幸福数表有没有356，有没有356，如果找到了356，那接下来肯定能算到1，所以78999是幸福数。其他数也一样，如果是比较大的数，那就多算几次直到求出三位数时再用这种办法。这个发现对以后求幸福数节省了很多时间。 结论： 另一方面，如果用立方代替平方，那么至少基数为10的情形是我们所掌握的，这是根据如下事实：完全平方数必同余于0或+-1mod 9，对应的数（1，10，100，112，121，211，778…）的密度可以是0。模3余0的数收敛于153，模3余2的数收敛于371或407，故而只限于关注模3余1的数即可。这样的数或者收敛于370，或者收敛于3-圈（55，250，133）或（160，217，352）中的一个数，或者收敛于2-圈（919，1459）或（139，244）中的一个数，或者偶尔也恰好收敛于1。类似的：如果用四次方五次方或者是更高次方来代替平方应该有类似的结果